Esta lista foi retirada do site http://www.dma.uem.br/jrgeronimo/calculo/maisexercicios_1_4.pdf,
onde nela também aparece alguns exercícios de logarítimo, resolva e envie para rodrigobasket13@hotmail.com.
sábado, 7 de maio de 2011
Aula 9:Exercícios de Geometria plana
Os exerciocios aqui postados são retirados do site:http://www.rumoaoita.com/site/attachments/173_17321.09_TC%20MAT_Rumo%20ao%20ITA%20Prof%20Fabício%20Maia.pdf, prova feita pelo instituto tenológico da aeronautica(ITA).
Lembrando que para a resolução dos exercicios você precisara do teorema de Pitágoras, que se define por (hipotenusa)²=(cateto)²+(cateto)²; após o término da lista enviar para rodrigobasket13@hotmail.com, onde retornaremos os exercicios concluídos passo a passo.
Lembrando que para a resolução dos exercicios você precisara do teorema de Pitágoras, que se define por (hipotenusa)²=(cateto)²+(cateto)²; após o término da lista enviar para rodrigobasket13@hotmail.com, onde retornaremos os exercicios concluídos passo a passo.
sábado, 30 de abril de 2011
Aula 8:Funções Complementares
Na circunferência trigonométrica, definimos três funções: sen, cos e tg.Podemos definir outra três funções, cotangente, secante e cossecante, às vezes denominadas funções trigonométricas auxiliares, da seguinte maneira:
se cosx for diferente de 0;
se senx for diferente de 0;
De maneira análoga àquela que fizemos com as outras funções trigonométricas, podemos estudar estas três auxiliares com detalhe, estabelecendo para cada uma delas o domínio, a imagem e construindo os gráficos. Além disso, temos, evidentemente, como no caso das outras três, uma interpretação geométrica importante.
COTANGENTE:
SECANTE:
COSSECANTE:
se cosx for diferente de 0;se senx for diferente de 0;De maneira análoga àquela que fizemos com as outras funções trigonométricas, podemos estudar estas três auxiliares com detalhe, estabelecendo para cada uma delas o domínio, a imagem e construindo os gráficos. Além disso, temos, evidentemente, como no caso das outras três, uma interpretação geométrica importante.
COTANGENTE:
SECANTE:
Aula 7:Função Tangente
unidade de medida de comprimento
O domínio da função tangente é
e a imagem é o conjunto R.
Aula 6:Função Cosseno
Consideremos a função f(x)=cos x. Cada ponto do gráfico é da forma (x,cos x ), pois a ordenada é sempre igual ao cosseno da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.
O gráfico dessa função é o seguinte:
O domínio da função cosseno é R e a imagem é o intervalo [-1,1].
Trata-se de uma função limitada e periódica de período P=
unidades de medida de comprimento.
O gráfico dessa função é o seguinte:
Trata-se de uma função limitada e periódica de período P=
aula 5:função Seno
Consideremos a função f(x)=sen x. Cada ponto do gráfico é da forma (x, sen x), pois a ordenada é sempre igual ao seno da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.
O gráfico dessa função é o seguinte:
O domínio da função seno é R e a imagem é o intervalo [-1,1].
Agora, queremos descobrir como é o gráfico de uma função seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k, quando comparado ao gráfico de y=sen x, a partir das transformações sofridas pelo gráfico dessa função.
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçadas no mesmo referencial cartesiano.
unidade de medida de comprimento
O gráfico dessa função é o seguinte:
Agora, queremos descobrir como é o gráfico de uma função seno mais geral, y=a.sen(bx+m)+k, quando comparado ao gráfico de y=sen x, a partir das transformações sofridas pelo gráfico dessa função.
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçadas no mesmo referencial cartesiano.
Aula 4: Função trigonometrica
Dado um número real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o comprimento do arco AP é x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x radianos..
Definimos as funções seno, cosseno e tangente do número real x da seguinte maneira:
cos x: é a abscissa de Psen x: é a ordenada de P
Aula 3:História da Trigonometria
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.
A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcus rapidamente encorajou o uso universal de seno.
Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como em hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a colocação das vogais. Além de jiba e jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.
Os capítulos do livro de Copérnico, mostrando toda a importância da Trigonometria para a Astronomia, foram publicados em 1542 por Rheticus. Este também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a sua morte.
O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão por todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma nova idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634 pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtred S.
Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em 1620, sugeriu co-sinus. A notação Si.2 foi usada por Cavalieri, s co arc por Oughtred e S por Wallis.
Viète conhecia as fórmulas para sen nx em termos de sen x e cos x. Ele deu explicitamente as fórmulas relativas ao seno e ao cosseno do arco triplo
A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto modificava o tamanho da sombra.
Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides através da semelhança de triângulos.
As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes por volta de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi primeiro usado por Edmund Gunter, em 1620.
As notações para a tangente e a cotangente seguiram um desenvolvimento semelhante àquele do sen e cos. Cavalieri usou Ta e Ta.2, Oughtred usou t arc e co arc, enquanto Wallis usou T e t. A abreviação comum usada hoje é tan (ou tg) sendo que a primeira ocorrência desta abreviação é devida a Albert Girard em 1626, com tan escrito por cima do ângulo; cot foi primeiro usada por Jonas Moore em 1674.
A secante e a cossecante não foram usadas pelos antigos astrônomos ou agrimensores. Estas surgiram quando os navegadores por volta do século XV começaram a preparar tabelas. Copérnico sabia da secante que ele chamou a hipotenusa.
As abreviações usadas por vários autores foram semelhantes para as funções trigonométricas já discutidas. Cavalieri usou Se e Se.2, Oughtred usou se arc e sec co arc, enquanto Wallis usou s e s. Albert Girard usou sec, escrito por cima do ângulo como ele fez para a tan.
O século XVIII viu as funções trigonométricas de uma variável complexa sendo estudadas. Johann Bernoulli achou a relação entre "1/sen z" e "log z" em 1702. De Moivre publicou seu famoso teorema (cos x +i.sen x) elevado a n em 1722, enquanto Euler, em 1748, forneceu a fórmula e=cosx+i.senx.
A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.
Seno do arco reto
Resíduos do seno
Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides através da semelhança de triângulos.
As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes por volta de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi primeiro usado por Edmund Gunter, em 1620.
As notações para a tangente e a cotangente seguiram um desenvolvimento semelhante àquele do sen e cos. Cavalieri usou Ta e Ta.2, Oughtred usou t arc e co arc, enquanto Wallis usou T e t. A abreviação comum usada hoje é tan (ou tg) sendo que a primeira ocorrência desta abreviação é devida a Albert Girard em 1626, com tan escrito por cima do ângulo; cot foi primeiro usada por Jonas Moore em 1674.
A secante e a cossecante não foram usadas pelos antigos astrônomos ou agrimensores. Estas surgiram quando os navegadores por volta do século XV começaram a preparar tabelas. Copérnico sabia da secante que ele chamou a hipotenusa.
As abreviações usadas por vários autores foram semelhantes para as funções trigonométricas já discutidas. Cavalieri usou Se e Se.2, Oughtred usou se arc e sec co arc, enquanto Wallis usou s e s. Albert Girard usou sec, escrito por cima do ângulo como ele fez para a tan.
O século XVIII viu as funções trigonométricas de uma variável complexa sendo estudadas. Johann Bernoulli achou a relação entre "1/sen z" e "log z" em 1702. De Moivre publicou seu famoso teorema (cos x +i.sen x) elevado a n em 1722, enquanto Euler, em 1748, forneceu a fórmula e=cosx+i.senx.
Aula 2: Poligonos
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
1. Os lados opostos são congruentes;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;
4. As diagonais cortam-se ao meio.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.
Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
Aula 1:Tipos de Geometria
A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.Algumas definições:
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
A história da Geometria
Quando estudamos a origem da geometria não podemos dizer que esta se
procedeu apenas na Grécia, ou por alguma outra nação, e sim por um conjunto de necessidades dos povos antigos, que tinham por objetivo resolver problemas do seu dia-a-dia, como lugares para armazenar alimentos, como construir paredes.
procedeu apenas na Grécia, ou por alguma outra nação, e sim por um conjunto de necessidades dos povos antigos, que tinham por objetivo resolver problemas do seu dia-a-dia, como lugares para armazenar alimentos, como construir paredes.
Não podemos esquecer que, também, a geometria de uma maneira mais rústica foi usada na Babilônia, na China, entre outros. Mas, o seu uso como ciência dedutiva teve origem, sim, na Grécia Antiga; destacaram-se Tales de Mileto, os pitagóricos (os discípulos de Pitágoras) e Platão, o qual evidenciou a necessidade da demonstração rigorosa de teoremas, fazendo com que o trabalho de Euclides fosse tremendamente facilitado. Posteriormente, apareceu Arquimedes, este criou uma teoria que foi importante para o desenvolvimento do conceito de limite, ferramenta indispensável do Cálculo. Ainda podemos citar Apolônio de Perga, que se dedicou ao estudo das cônicas; Gauss e Riemman que propuseram uma geometria chamada de “nãoeuclidiana”, pois se diferenciava da geometria proposta por Euclides. Ainda poderíamos citar Arthur Cayley que criou uma geometria de mais de 3 dimensões(conhecida como geometria em 3D).
Porém, muito antes destes pensadores, a Geometria já era conhecida e usada no Egito
Antigo, não como um mero passatempo, mas, sim, por necessidade, com o propósito de se
resolver problemas relacionados a cálculos de áreas de terras férteis, cálculo de volumes de
mercadorias armazenadas, entre outros.
Porém, muito antes destes pensadores, a Geometria já era conhecida e usada no Egito
Antigo, não como um mero passatempo, mas, sim, por necessidade, com o propósito de se
resolver problemas relacionados a cálculos de áreas de terras férteis, cálculo de volumes de
mercadorias armazenadas, entre outros.
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